Una legge elettorale democratica è dittatoriale.

Si sente spesso parlare di leggi elettorali, in special modo alla vigilia di una qualche elezione. Si fa anche un gran parlare della loro bontà. E' più giusta una legge proporzionale o maggioritaria? Ma la domanda che ci porremo in questo caso è la seguente: esiste una legge elettorale che tenga conto di tutto quello che si possa desiderare da una votazione democratica, corretta, equa, in una sola parola "giusta"?

Il problema è stato già in passato formalizzato, studiato e… dimostrato matematicamente. E il risultato di questa analisi? Sorprendente…

Supponiamo di avere tre schieramenti: Moderati, Progressisti e Conservatori. Questi schieramenti hanno una percentuale di votanti rispettivamente del 16%, 44% e 40%. Adesso supponiamo che ognuno proponga un candidato a cui assegnare una certa carica. In un sistema puramente maggioritario vincerebbero i Progressisti. Adesso però supponiamo che i Conservatori preferiscano un Moderato ad un Progressista, che i Progressisti preferiscano un Moderato ad un Conservatore e che un quarto dei Moderati (quindi il 4% del totale) preferisca un Progressista ad un Conservatore. Facendo un po' di conti risulta quanto segue:

il Conservatore è preferito al Moderato dal 40% (solo preferenze dei Cons.)
il Conservatore è preferito al Progressista dal 62% (40% Cons. + 12% Mod.)
il Moderato è preferito al Conservatore dal 60% (16% Mod. + 44% Progr.)
il Moderato è preferito al Progressista dal 66% (16% Mod. + 40% Cons.)
il Progressista è preferito al Conservatore dal 40% (44% Progr. + 4% Mod.)
il Progressista è preferito al Moderato dal 40% (solo preferenze dei Progr.)

Come si vede, da un confronto diretto dei candidati, risulta vincitore il Moderato, secondo classificato il Conservatore e ultimo il Progressista. Questo nonostante il Moderato abbia dalla sua parte uno schieramento di appena il 12%. Direi che ogni ulteriore commento è superfluo.

Esistono altri esempi, altrettanto eclatanti, ma ve li risparmio. Ora torniamo alla domanda iniziale: esiste una legge elettorale che non presenti questo tipo di problemi? Prima di rispondere a questa domanda dobbiamo capire quali sono i problemi che vogliamo evitare, quindi, in un certo senso bisogna definire quali devono essere i requisiti di questa legge elettorale:

1. Universalità. Le legge elettorale deve fornire sempre una graduatoria.
2. Non imposizione. La legge elettorale deve garantire la sovranità dei cittadini, quindi deve essere possibile far vincere uno qualunque dei candidati purchè questo raccolga un numero sufficiente di preferenze (daltronde non è auspicabile una legge elettorale che escluda a priori un candidato a prescindere dal risultato delle votazioni).
3. Monotonicità. La legge elettorale deve rispecchiare in modo positivo le preferenze dei cittadini. Se da un'elezione risulta che X è preferito a Y, e col passare del tempo questa preferenza cresce individualmente negli elettori, nell'elezione successiva X deve risultare sempre preferito a Y.
4. Indipendenza dalle alternative irrilevanti. Se i cittadini in un dato momento preferiscono X a Y e col passare del tempo cambiano la loro preferenza rispetto ad altri candidati, nella graduatoria finale dovrà risultare che X continua ad essere preferito rispetto a Y.
5. Non dittatorialità. La graduatoria finale non deve essere correlata in alcun modo ad una preferenza individuale. Detto in altre parole, non deve accadere che la preferenza di X rispetto a Y nella graduatoria finale sia determinata da una scelta individuale di un cittadino rispetto a X e Y (daltronde se le scelte sociali rispecchiassero quelle di un singolo cittadino, questo sarebbe un dittatore).

Gli assiomi appena espressi sono delle richieste ragionevoli per una legge elettorale democratica (anche intuitivamente si capisce la bontà di questi criteri). Per molto tempo è stata cercata una legge che potessere rispettarli tutti e 5 ma senza successo, finchè non è stato dimostrato che una tale legge non esiste! Il ragionamento logico che porta a questa conclusione nasce non appena si tenta di dimostrare l'esistenza di una legge in grado di far rispettare contemporaneamente gli assiomi 3, 4 e 5 e si vede che se tale legge rispetta gli assiomi 3 e 4 deve necessariamente violare il 5°.

Il "Teorema di Arrow" (dal suo scopritore Kenneth Arrow) è un risultato di straordinaria importanza nella teoria delle decisioni e afferma che una legge realmente democratica (nel senso matematico del termine) per un numero di candidati maggiore di 2, semplicemente non esiste. Questo teorema è anche noto come il "Paradosso di Arrow" data la sua portata.

La dimostrazione del teorema, nonostante faccia uso di concetti (relativamente) semplici, è abbastanza articolata e non può essere riportata in questo articolo. I più curiosi possono trovare una dimostrazione formale qui.