La formulina…

Ho notato che quasi tutte le persone che hanno letto il mio racconto La prof. di informatica, sono rimaste incantate dalla formulina per la somma dei numeri da 1 a n. Ogni volta che incontro qualcuno che ha letto il racconto nella vita reale mi dice:

"Ah! ho letto il tuo racconto…"
"Quello sul blog?"
"Sì, molto carino, poi quella formula che si vede all'inizio…"

Prima di pubblicarlo ricordo che l'ho fatto leggere a giskard per farmi da betatester e dirmi cosa ne pensava. Dopo un quarto d'ora, in chat, gli chiedo:

"Beh allora?"
"La formula… non sapevo che si potesse fare così… ma è così ovvio questo metodo?"
"Se non conosci la formula no… ma cosa ne pensi del racconto?"
"Eh non so… mi sono fermato sulla formula…"

Ecco, non so perchè quella formula manda a male la gente.

Però adesso per renderla meno impegnativa vi spiego come funziona…

…tranquilli la dimostrazione è alla portata di tutti! (se vi impegnate 🙂

Allora, vogliamo sapere la somma dei numeri da 1 a n. Chiamiamo questa somma ipotetica con la lettera S, quindi S sarà uguale a 1, più 2, più 3, ecc. fino a n:

S = 1 + 2 + … + (n-1) + n

riscriviamo la somma al contrario:

S = n + (n-1) + … + 2 + 1

Fin qui nulla di straordinario. Adesso il trucco sta nel prossimo passaggio, bisogna fare la somma delle due uguaglianze, il risultato è:

S + S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + … + ((n – 1) + 2) + (n + 1) 

Lo so che vista così può sembrare complicata, ma ho semplicemente sommato membro a membro tutti i termini delle prime due uguaglianze, quindi il primo termine sarà "S + S" poi dopo l'uguale ho sommato l'1 con n ottenendo (1 + n), poi il 2 con (n-1) ottenendo (2 + (n-1)) ecc…

Semplificando si ottiene:

S + S = (1 + n) + (1 + n) + … + (1 + n) + (1 + n)

questo perchè (2 + (n-1)) = (2 + n – 1) = (1 + n) e così per tutti i termini.
Se non è chiaro provate a riscriverla sostituendo n con un numero, per esempio 5:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
S = 5 + 4 + 3 + 2 + 1
S+S = (1+5) + (2+4) + (3+3) + (4+2) + (5+1)
2 * S = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

Adesso guardiamo un attimo l'ultima uguaglianza… si nota subito che il termine (1 + n) è ripetuto esattamente n volte (nell'esempio numerico il 6 cioè (n+1) è ripetuto esattamente 5 volte cioè (n)) quindi posso scriverlo così:

2 * S = n * (1 + n)

Quindi il doppio della somma è uguale a (n * (1+n)).

La somma sarà quindi la metà di (n * (1+n)) cioè:

S = n * (1 + n) / 2

che è la formulina che ho utilizzato nella storia.

Beh visto che non era così difficile? 🙂

P.S. Il 27 pubblico un nuovo racconto, volevo pubblicarlo oggi al posto di quest'articolo ma ho cambiato idea all'ultimo. In realtà è salito per qualche minuto e ha già avuto una lettura… caro lettore ignoto, spero ti sia piaciuto!